Теория на вероятностите

Събития

Всяко явление протича при известни условия. Обратно, при определени условия протича някакво явление, но ние не сме в състояние да опишем всички условия, при които протича дадено явление.

Ние определяме само някои условия за протичането на дадено явление, което ще наричаме събитие. При реализирането на тези условия даденото събитие може да се сбъдне, а може и да не се сбъдне. Такова събитие, което при даден комплекс от условия може да се сбъдне, а може и да не се сбъдне, наричаме случайно.

Теорията на вероятностите се занимава с изследване закономерностите при случайните събития.

Видове събития

Сигурни(достоверни) събития

Ако при многократно повтаряне на даден комплекс от условия се реализира едно и също събитие, то се нарича сигурно или достоверно събитие.

Ето няколко примера. Ако подхвърлим с ръце еди тежък предмет нагоре, този предмет ще падне. Падането на предмета е сигурно събитие.

Пример 2: при падането на монета, върху която различаваме лицева и гербова страна, върху хоризонтална равнина тя не застава върху равнината отвестно, а пада върху една от страните си. Падането на монетата върху една от страните й е сигурно събитие.

Пример 3: при подхвърляне върху хоризонтална равнина едно кубче застава върху една от стените си. Следователно сигурно събитие е падането на куба върху една стена. За конкретност вместо куб ще говорим за зар(кубче което се използува при хазартни игри), стените на които са номерирани от 1 до 6 посредством съответен брой точки. Събитието падане на зара върху стена с брой на точките, по-малък от 7 е сигурно събитие. Сигурните събитя ще означаваме с буквата U.

Невъзможни събития

Ако при реализиране на определен комплекс от условия дадено събитие не се сбъдва, то се нарича невъзможно събитие.

Пример за невъзможно събитие е при падане върху хоризонтална равнина една монета да застане отвесно. Друг такъв пример е заставането на зар върху ръб или даже върху връх.

Невъзможно събитие е падането на зара върху стена със 7 точки.

Невъзможните събития ще означаваме с буквата V.

Противоположни събития

Две събития ще наричаме противоположни, ако се реализират при еди и същи комплекс от условия и ако винаги, когато едното събитие се реализира, другото не се реализира.

Пример за противоположни събития са разгледаните по-горе сигурни и невъзможни събития. Падането на една монета върху лицевата й страна и падането й върху гербовата й срана, разгледани като две събития, са също противоположни, защото монетата не може да е паднала върху лицевата си страна, ако е паднала върху гербовата си страна и обратно.

Падането на зара върху стена с четен брой точки и върху стена с нечетен брой е също невъзможно събитие

Не е трудно да се разбере, че всяко събитие има свое противоположно. Противоположното на дадено събитие можем да дефинираме като събитие, което се реализира, ако даденото не се реализира, или обратно, което остава нереализирано в резултат на реализирането на даденото събитие.

Ако с А означим даденото събитие, то с А ще означаваме неговото противоположно. Логически казано, А е не А и А е не А

Съгласно въведените по-горе означения за сигурно и невъзможно събитие имаме равенствата

Несъвместими и съвместими събития

Събития, които не могат да се реализират(едновременно)при един и същ комплекс от условия, се наричат несъвместими.

Несъвместими събития са например противоположните. Но докато при противоположните се реализира едно от тях, щом другото не се е реализирало, при несъвместимите събития това не е задължително. Две несъвместими събития могат и едновременно да не се реализират. Тяхното едновременно реализиране обаче е отречено по определение. При хвърлянето на един зар несъвместими са например следните две събития: падането на зара върху стена с една точка и падането му върху стена с четен брой точки.

Съвместимите събития ще определим като събития, които не са несъвместими.

Пример на съвместими събития е падането на зар върху стена с една точка и падането на зар върху стена с нечетен брой точки

Елементарни и сложни събития

При даден комплекс от условия се реализират различни събития. Някои от тях могат да бъдат определени като основни, неизразени посредством други събития, но посредством които се изграждат останалите събития. Такива основни събития ще наричаме елементарни а останалите събития – сложни. Ще отбележим, че както елементарните, така и сложните събития се обуславят единствено от комплекса от условия. Не е изключено едно и също събитие да може да реализира при два различни комплекса от условия, но при единия комплекс то да е елементарно, а при другия сложно.

По принзип смятаме, че при различни комплекси от условия се реализират различни събития.

Примери за елементарни и сложни събития:

При хвърлянето на една монета елементарните събития са две: падане върху лизевата страна и падане върху гербовата страна. Също така при хвърляне на зар имаме 6 елементарни събития, за 6-те различни стени. Падането на зара върху стена с четен брой точки е сложно събитие, което се състои в реализирането на едно от елементарните събития за падане върху стена с 2, 4 или 6 точки.

Ако хвърлим две монети едновременно, то елементарните събития са двойка елементарни събития за една монета. Ще означаваме с Л и Г съответно събитията падане на монета върху лицевата и падане върху гербовата й страна. За падане на 2 монети имаме следните четири елементарни събития: ЛЛ, ЛГ, ГЛ, ГГ.

Сложно събитие е падане на двете монети върху различни стени, тогава, когато едната монета е паднала върху Л страна, а другата върху Г или обратно(ЛГ или ГЛ). Така това сложно събитие се реализира само когато се реализира едно от двете елементарни събития(ЛГ или ГЛ), но то не е тъждествено с тях, а само е изградено посредством тези елементарни събития.

И така при даден комплекс от условия всяко събитие може да се разглежда като изградено посредством елементарни събития. Ние ще разглейдаме всяко събитие като множество, чиито елементи са елементарни събития.

Действия със събития. Поле от събития

Известни са действията с множества. Тъй като ние разглеждаме събитията като множества, то имаме възможност лесно да извършваме действия и със събития.

Преди всичко, ако А е дадено събитие, изградено посредством елементарните събития а₁, а₂, а₃,... а_n,то смятаме, че събитието А се сбъднало, ако се е сбъднало поне едно от изграждащите го елементарни събития а₁, а₂, а₃,... а_n.

Еквивалентни събития

Казваме, че събитието А следва от събитието В или че А се съдържа в В, или В съдържа А, което записваме така; А ?(само че знака е легнал) В или В ?(само че знака е легналА) ............................................................................................ Занапред, когато говорим за различни събития , ще смятаме, че имаме един и същи комплекс от условия, ако не е казано противното. Ако А и В са две събития, такива че А следва от В и В следва от А, т.е. А?В и В?А Ще казваме че А и B са еквивалентни(равносилни) или просто равни и това ще записваме така А = B

Оттук следва твърдението: Ако А и В са еквивалентни събития, то те се състоят от едни и същи елементарни събития.

Сума(Сбор) на две събития

Нека А и В са две събития. Под сбор на две събития А и В разбираме събитието С, което е настъпило тогава и само тогава, когато е настъпило поне едно от събитията А или В. Това означаваме с С = А или В( АVВ)

Произведение(сечение) на две събития

Под произведение на събитията А и В се разбира събитие, елементарните събития на което са елементарни събития едновременно на А и В. Следователно произведението на А и В е събитие, което се сбъдва точно тогава, когато се сбъдват А и В. С дръги думи произведението на А и В е общата им част(има картинка от две пресичщи се окръжности и общата част е защрихована)

Сечение на две събития A и B наричаме събитието C, което е настъпило тогава и само тогава, когато е настъпило както събитието A, така и събитието B. Това означаваме с C = A ^ B

Вероятност на събитие

Има събития, които при многократно реализиране на комплекс от условия могат да се сбъднат, а могат и да не се сбъднат. С други думи, има събития, които не са сигурни. Например при хвърлянето на една монета тя мойе да падне върху лицевата, а може и върху гербовата страна. Интуитивно е ясно, че при многократно хвърляне на монетата най-често около 1/2 от всички хвърляния ще имат за резултат падане върху лицевата страна. Предварително сме убедени че да се случва монетата да пада 5 пъти поред върху лицевата страна е твърде рядко събитие, а още по-рядко е да пада по такъв начин например 20 пъти или пък 1000 пъти. С всяло случайно събитие (в същност в теорията на вероятностите събитията са само случайни) е е свързана определена количествена характеристика, която лежи в основата на понятието за вероятност за сбъдване на това събитие.

Понятието вероятност е една идеализация на приложното понятие за честота, с която се явява едно събитие. По-напред ще се запознаем с понятието вероятност, а малко по-долу ще разгледаме и понятието за честота.

Вероятност

Ако при един опит са възможни n различни изхода и ако събитието А се състои от m различни изходи, тогава

Пример 1: Една монета хвърляме два пъти. Каква е вероятността и двата пъти монетата да падне върху лицевата си страна?
Решение: Ако с Л и Г означим елементарните събития за падане на монетата при едно хвърляне съответно върху лицевата и гербовата страна, то елементарните събития(възможните случаи) са следните четири двойки: ЛЛ, ЛГ, ГЛ, ГГ. Сред тях елементарно събитие е само двойката ЛЛ Търсената вероятност е равна на?

Пример 2: Да се пресметне вероятността за падането на два едновременно хвърлени зара върху едни и същи стени.
Решение: Всяка стена от единия зар се съчетава с всяка от шестте стени на другия зар и това са всичките 6 ² = 36 възможни случая, а именно(всяка цифра означава стена, имаща съответно толкова точки)
11; 12; 13; 14; 15; 16;
21; 22; 23; 24; 25; 26;
31; 32; 33; 34; 35; 36;
41; 42; 43; 44; 45; 46;
51; 52; 53; 54; 55; 56;
61; 62; 63; 64; 65; 66;
Сред тях само 6 са благоприятни, именно двойките 11, 22, 33, 44, 55, 66
Търсената вероятност е Р = 6/36 = 1/6

Пример 3: Дадено е едно двуцифрено число, което е точен квадрат. Каква е вероятността това число да е по-малко от 50?
Решение: Всички двуцифрени квадрати са 6 , именно това са числата 16, 25, 36, 49, 64, 81. Сред тях по- малки от числото 50 са 4. Следователно търсената вероятност е Р = 4/6 = 2/3

Пример 4: В една урна имаме 20 бели и 30 черни топки. Изваждаме 5 топки. Каква е вероятността те да са бели?
Решение: Мисленно номерираме топките с числата от 1 до 50. По този начин никои две топки не са еднакви, защото не могат да имат един и същи номер. След всяка една извадка връщаме обратно вкупом извадените топки. По този начин всички извадки са направени при еднакви условия. Топките могат да бъдат извадени наведнъж или една по една. Следователно броят на всички извадки, т.е. броят на възможните случаи, е
С⁵₅₀ = 50.49.48.47.46/(1.2.3.4.5)
Извадените топки ще бъдат бели, ако са извадени измежду 20-те бели топки. Всички петорки от бели топки, т.е. всички благоприятни случаи, са
С⁵₂₀ = 20.19.18.17.16/(1.2.3.4.5) Вероятността Р за изваждане на бели топки е
Р = С⁵₂₀/ С⁵₅₀ = = 20.19.18.17.16/50.49.48.47.46 Забележка: В общия случай ако имаме n топки от които m са бели , то вероятността за изваждане на к бели топки (к ≤ m) е С^к_m/ С^k_n

Пример 5: От едно тесте от 52 карти изваждаме 4 Каква е вероятността те да бъдат измежду наличните 12 фигури?
Решение: Възможните случаи са С⁴₅₂ на брой. Броят на благоприятните е С⁴₁₂ Търсената вероятност е
Р = ⁴₁₂/⁴₅₂ = 99/54145

Аксиоматично изграждане на теорията на вероятностите

Аксиоми и теореми

Това са аксиомите, въведени за първи път към 1929г. от руския математик А. Колмогоров

Честота

Под честота на едно събитие разбираме частното от броя на сбъдванията му и броя на проведените опити.

Свойства на честотата

А) Честотата е рационално число, заключено в затворения интервал [0,1]
И наистина по определение честотата е отношение на две цели положителни числа и при това числителят е по-малък или равен на знаменателя, защото събитието се сбъдва най-много толкова пъти, колкото са опитите.
Б) Ако едно събитие е сигурно, т.е. ако при всеки опит то по необходимост се сбъдва, неговата честота е равна на 1. Това е очевидно, тъй като в случая броят на сбъдванията на едно сигурно събитие е равен на броя на опитите.
В) Честотата на сумата на две несъвместими събития е равна на сумата от честотите им.

Условна(Сложна) вероятност

Дадени са две събития A и B. Ако сбъдването на събитието A зависи от това, дали се е сбъднало събитието B или не, казваме че A зависи от B. С Р(А)_В означаваме вероятността за сбъдването на събитието А при условие, че се е сбъднало събитието В. Тази вероятност ще наричаме условна или сложна вероятност.

Пример: Каква е вероятността в серия от два опита да се сбъдне едно и също събитие?
Решение: Да се сбъдне събитието А и в двата опита е равно на произведението АА
С Р(А) означаваме вероятността за сбъдване на А в един опит, която ще смятаме за дадена. Тогава от теоремата, че Р(А).Р(В) = Р(АВ) при В = А получаваме
Р(АА) = Р(А).Р(А) = [P(A)]²

Пример: Хвърляме два зара едновременно. Каква е вроятността единият зар да е паднал върху стена с четен брой точки, а вторият върху стена с не повече от три точки?
Решение: За първия зар имаме три благоприятни случая (брой на точките 2, 4, 6) и вероятността за него е 3/6 = ?. Благоприятните случаи на втория зар също са три (стена с 1, 2, 3 точки)и неговата вероятност е 1/2. Вероятността тези две събития да съвпаднат е 1/2 . 1/2 = 1/4

Формула за пълната вероятност

Нека А едно произволно събитие а В₁, В ₂..., В_n, е една пълна група от несъвместими две по две събития то формулата за пълната вероятност е:

Формула на Бейс

Р(В_k)_А = Р(В_k)Р(А)В_k/ Р(В₁).Р(А) _В1 + ...... + Р(В_n)Р(А)В_n
С формулата на Бейс се установява как влияе върху вероятностите на една пълна група от събития дадено събитие.

Схема на Бернули

Многократното извършване на еди опит не може да стане при едни и същи условия. Вероятността на едно събитие изобщо зависи и от това, в кой опит се реализира събитието.

Има събития, вероятността на които не зависи от броя на опитите или тази зависимост може да се пренебрегне. Такова разглеждане на многократно повтарящи се опити, в които дадено събитие се реализира с една и съща вероятност, се нарича схема на Бернули.

Пример 1: При многократно повтаряне на един опит дадено събитие А се сбъдва по схемата на Бернули. Извършваме n опита. Ако вероятността за сбъдване на А в един опит е Р, на колко е равна вероятността за сбъдване на събитието в n-те опита?
Рещение: Имаме произведение от n равни събития А с вероятност Р. Търсената вероятност е Р(А...А) = [Р(А)]ⁿ = Рⁿ

Пример 2: На колко е равна вероятността в поне един от горните опити да не се сбъдне даденото събитие А?
Решение: Събитието в n опита поне един път не е А” е противоположно на събитието в n опита всеки път е А” , което разгледахме в първия пример и за чиято вероятност намерихме числото Рⁿ Следователно вероятността, че събитието в n опита не всеки път е А”, е равна на 1 - Рⁿ

Пример 3: На колко е равна вероятността събитието А(от пример1) да не се сбъдне нито един път в серия от n опита?
Решение: Описаното събитие е еквивалентно на събитието” във всеки опит се сбъдва А, т.е. противоположното на А” Съгласно първия пример вероятността на това събитие е [Р(А)]ⁿ = (1 – Р) ⁿ = qⁿ, където q = 1 – Р

Пример 4: В един опит събитието А се сбъдва с вероятност Р. На колко е равна вероятността в серия от n опита то да се сбъдне поне един път?
Рещение: Нека В е събитието, чиято вероятност търсим. Очевидно противоположното на В е следното събитие: събитието А не се сбъдва нито един път. Но вероятността на последното, както намерихме в пример3, е равна на (1 - Р) ⁿ, откъдето следва, че Р(В) = 1 – (1 - Р)ⁿ.

Биномен закон

Нека решим следната задача. Едно събитие А се сбъдва с вероятност по-малка от 1/2. Извършваме n опита по схемата на Бернули. На колко е равна вероятността събитието А да се сбъдне точно к пъти(к ≤ n)?

Да означим n-те опита с А₁, А₂,... А_n, а с В събитието: сбъдване на А от А₁, А₂... А_n точно к пъти (в к опита). Очевидно в поставената задача се търси Р(В)

Нека една комбинация от събитията А₁, А₂,.... А_n от к-ти клас е например следната: А₁, А₂... А_k. Събитието В ще се сбъдне, ако във всеки елемент от комбинацията се е сбъднало събитието А, но в останалите опити А_{k + 1},...A_n се сбъдва събитието А.

В този случай имаме събитието АААА...А ААА....А { k пъти } {n – k пъти}

Неговата вероятност е Р.Р.....Р.qqqqq...q = Р^k.q^n-k. { k пъти } { n – k пъти}, където Р е вероятността за сбъдване на събитието А в един опит, q = 1 - Р вероятността да се сбъдне събитието А в един опит.

Нека имаме коя да е друга комбинация от к-ти клас от опити, в която се е сбъднало събитието А, а в останалите n – k опита да се е сбъднало събитието А. В този случай имаме събитието ААА...А, където А се е сбъднало к пъти, А { n – k пъти}

Вероятността на това събитие ще бъде също Р^k.q^{n - k}
Следователно при n-те опита имаме равновероятни възможности за сбъдване на събитието А точно к пъти (т.е. сбъдването на А к пъти и сбъдването на А n – k пъти). Те са толкова на брой, колкото са комбинациите от n елемента от к-ти клас, т.е. Cn^k, и съответната вероятност е Р^kq^n-k.

Събитието В се сбъдва точно тогава, когато се сбъдне една от описаните Cn^k, равновероятни комбинации и следователно В е сума от събитията, отговарящи на тези комбинации. Отук следва, тъй като събитията в отделните комбинации са независими събития, че вероятността на В е сума от вероятностите на тези Cn^k събития. Но последните събития имат една и съща вероятност Р^kq^n-k.
Следователно: Р(В) = Cn^kР^kq^{n - k}

Обикновенно числото P(В) се записва с Рn,k. То означава вероятността в серията от n опита събитието A да се сбъдне точно k пъти, ако вероятността му за сбъдване в един кой да е опит е равна на P(имаме схемата на Бернули). И така:

Полученото равенство се нарича Биномен закон поради участието на биномните коефициенти
Пример: Вероятността за спиране на електроенергията в едно селище през едно денонощие е равна на 0,01. Спирането на електроенергията не зависи от това, далие имало спиране или не през другите денонощия. Каква е вероятността?
а) Да няма спиране в продължение на 7 дни
б) Да има спиране само в едно денонощие
в) Да има спиране в две денонощия
....................................................
з) Да има спиране във всяко от седемте денонощия
Решение:
Прилагаме формулата
Р_{n, k} = C_n^kp^kq^n-k
при n = 7, p = 0,01, q = 1-0,01 = 0,99 k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Имаме
Р_7,0 = C₆⁰.0,01⁰.0,99⁷ ≈ 0,932
Р_7,1 = C₇¹.0,01¹.0,99⁶ = 0,07.0,99⁶ ≈ 0,659
Р_7,2 = C₇².0,01².0,99⁵ = 0,0021.0,99⁵ ≈ 0,002
Р_7,3 = C₇³.0,01³.0,99⁴ = 0,000035.0,99⁴ ≈ 0,00003
Р_7,4 = C₇⁴.0,01⁴.0,99³ = 35.0.01>⁴.0,99³ ≈ 0,0000003
Р_7,5 = C₇⁵.0,01⁵.0,99² = 35.0.01>⁵.0,99² ≈ 0,000000002
Р_7,6 = Р_7,7 ≈ 0

Случайни величини. Понятие за случайни величини

Температурата на въздуха на дадено място е случайна величина, която приема различни стойности в един интервал, например в интервала (-40° до +40°).
Броят на попаденията на снарядите в дадена цел от определен брой изтрели е случайна величина и т.н.т.
Случайните величини ще означаваме с буквата l
Някои случайни величини могат да бъдат подредени и номерирани в една редица. Такива случайни величини наричаме дискретни.
Например, ако l е броят на сбъдванията на едно събитие в серията от n опита, то
l = 0, 1, 2, .... k и тези k + 1стойности могат да се номерират с числата от 1 до n. Така броят на попаденията на снарядите е величина, чиито стойности могат да се номерират.
Ако една случайна величина приема стойности, които са изолирани в отделни интервали, т.е. ако за всяка стойност може да се намери интервал, който не съдържа други стойности, тази случайна величина е дискретна.

Друг характер има случайната величина, изразяваща температурата на дадено място. Тази величина може да приема всички стойности в даден интервал и поради това тази функция не може да бъде дискретна. Стойностите й не са отделени една от друга(дискретни) а непрекъснати. Такава величина наричаме непрекъсната случайна величина.

Закон за разпределение на случайните величини

Нека l е дискретна случайна величина и нека нейните стойности образуват едно крайно множество: Х₁, Х ₂,.......Х_n

Случайната верличина l ще бъде позната напълно, ако познаваме съответните вероятности за сбъдване на стойностите й:
Р(х₁) = Р₁, Р(х₂) = (Р₂)....Р(х_n) = Р_n
Тези сведения за случайната величина l можем да запишем в следната таблица:

Която ще наричаме таблица или закон за разпределение на вероятностите на случайната величина ?

Пример: Хвърляме 5 монети едновременно. С l означаваме случайната величина, чийто стойностиса равни на броя на падналите върху лицевата страна монети. Да се определи таблицата на разпределение на вероятностите на l.
Решение: Тук имаме закона за биномното разпределение и ако к броят на падналите върху лицевата страна монети, то вероятността за сбъдване на този брой е
Р _{5, k} .1/2^k(1 – l)^{5 - k} = C^k.1/2⁵
Таблицата е следната:

Лесно се проверява равенството
1/2 ⁵ + 5/2⁵ + 10/2⁵ + 10/2⁵ + 5/2⁵ +1/2 ⁵ = 1

Това равенство се запазва и в общия случай, тъй като ако таблицата за разпределение на вероятностите на една случайна величина е:

То стойностите й х₁ х₂ ........х_n можем да разглеждаме като пълна група от независими събития и затова по необходимост имаме равенството
р₁, р₂,.....,р_n = 1

Повече за теория на вероятностите във форума

Форум за вероятности

Още вероятност във форума за математика